Question

2．已知A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的公共頂點，P，Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A，B的動點，且有$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=λ（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{BQ}$）（λ∈R），設(shè)AP，BP，AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，且m=
（k₁，k₂），n=（k₂，k₁） 
（1）求證：m⊥n；
（2）求$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$+$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$+$\frac{{k}_{3}}{{k}_{4}}$+$\frac{{k}_{4}}{{k}_{3}}$的值；
（3）設(shè)F₂′，F(xiàn)₂分別為雙曲線和橢圓的右焦點，且PF₂′∥QF₂，試判斷k₁²+k₂²+k₃²+k₄²是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x₁，y₁），則k₁•k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，同理k₃•k₄=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$；則k₁•k₂+k₃•k₄=0，即$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$；
（2）先計算k₁+k₂+k₃+k₄=0，進(jìn)而可得：∴$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$+$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$+$\frac{{k}_{3}}{{k}_{4}}$+$\frac{{k}_{4}}{{k}_{3}}$=-4；
（3）由（2）可求得∴（k₁+k₂）²=4，（k₃+k₄）²=4，結(jié)合k₁•k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，k₃•k₄=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$；可得k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=8．

解答 （1）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}$，
且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴x₁²-a²=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$•y₁²，
∴k₁•k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$；
同理可得：k₃•k₄=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$；
則k₁•k₂+k₃•k₄=0，
即$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$；
（2）解：∵k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$=$\frac{{2{x}_{1}•{y}_{1}}^{\;}}{{{x}_{1}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
設(shè)Q（x₂，y₂），同理可得k₃+k₄=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{2{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
又$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$共線，
∴x₁=λx₂，y₁=λy₂，
∴$\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}}$=$\frac{2{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∴k₁+k₂+k₃+k₄=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（$\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}}$-$\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}}$）=0；
∴$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$+$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$+$\frac{{k}_{3}}{{k}_{4}}$+$\frac{{k}_{4}}{{k}_{3}}$=$\frac{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}}{{k}_{1}•{k}_{2}}$+$\frac{{{k}_{3}}^{2}+{{k}_{4}}^{2}}{{k}_{3}•{k}_{4}}$=$\frac{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}-{{k}_{3}}^{2}-{{k}_{4}}^{2}}{{k}_{1}•{k}_{2}}$
=$\frac{{{（k}_{1}+{k}_{2}）}^{2}-2{k}_{1}{{k}_{2}}^{\;}-{{（k}_{3}+{k}_{4}）}^{2}+2{k}_{3}{{k}_{4}}^{\;}}{{k}_{1}•{k}_{2}}$=$\frac{-4{k}_{1}{{k}_{2}}^{\;}}{{k}_{1}•{k}_{2}}$=-4
（3）解：∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OQ}$（λ∈R，λ＞1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}=\frac{1}{λ}{x}_{1}\\{y}_{2}=\frac{1}{λ}{y}_{1}\end{array}\right.$，
又∵$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}={λ}^{2}$，
又∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}+1}{2}{a}^{2}\\{{y}_{1}}^{2}=\frac{{λ}^{2}-1}{2}^{2}\end{array}\right.$，
又∵若PF₁∥QF₂，
∴|OF₁|=λ|OF₂|，
∴λ²=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{{λ}^{2}+1}{{λ}^{2}-1}$•$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{a}^{4}}{^{4}}$，
∴（k₁+k₂）²=4•$\frac{^{4}}{{a}^{4}}$•$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$=4•$\frac{^{4}}{{a}^{4}}$•$\frac{{a}^{4}}{^{4}}$=4；
同理（k₃+k₄）²=4；
又k₁•k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$；k₃•k₄=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$；
∴k₁²+k₂²+k₃²+k₄²=（k₁+k₂）²+（k₃+k₄）²-2（k₁•k₂+k₃•k₄）=4+4-0=8

點評 本題考查圓錐曲線的綜合，著重考查整體代換與方程思想，培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力，屬于難題．