Question

（2004•武漢模擬）（理科）（ax+1）⁵（x+1）²展開式中x²系數(shù)為21，則a=

a=1或-2

．

Answer 1

分析：先將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式（ax+1）⁵的系數(shù)問題，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)分別等于1，2，0求出特定項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)已知列出關(guān)于a的方程，求出a的值．

解答：解：（ax+1）⁵（x+1）²=（ax+1）⁵（x²+2x+1）
所以展開式中x²的系數(shù)等于（ax+1）⁵展開式的x的系數(shù)的2倍加上（ax+1）⁵展開式的x²的系數(shù)加上（ax+1）⁵的常數(shù)項(xiàng)
因?yàn)椋╝x+1）⁵展開式的通項(xiàng)為T_r+1=a^5-rC₅^rx^5-r
令5-r=1，得r=4故（ax+1）⁵展開式的x的系數(shù)為5a
令5-r=2得r=3故（ax+1）⁵展開式的x²的系數(shù)為10a²，
5-r=0得r=5故（ax+1）⁵展開式的常數(shù)項(xiàng)為1
故展開式中x²的系數(shù)是10a+10a²+1=21
解得a=1或a=-2
故答案為：a=1或a=-2

點(diǎn)評：本題主要考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力、考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，屬于基礎(chǔ)題．