Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2lnx．求：
（1）f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]時，不等式f（x）＞m²+m+1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=3x+a在的區(qū)間[1，3]上有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞m²+m+1恒成立，只需f（x）_min＞m²+m+1即可．轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值．利用導數(shù)工具求解；
（2）方程f（x）=3x+a變形為x²-2lnx-3x-a=0，令g（x）=x²-2lnx-3x-a（x＞0），要求g（x）在區(qū)間[1，3]上恰好有兩個相異的零點．通過g（x）的單調(diào)性及最值，極值求解．

解答 解：（1）由題意知在[$\frac{1}{e}$，e]時，不等式f（x）＞m²+m+1恒成立，
∴f（x）_min＞m²+m+1，對x∈[$\frac{1}{e}$，e]恒成立，
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-1）（x+1）}{x}$，
∴令f′（x）=0得x=1或-1（舍），
當x變化時，f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，1）	1	（1，e）	e
f′（x）		-	0	+
f（x）	$\frac{1}{{e}^{2}}$+2	減	極小值f（1）	增	e2-2

∴f（x）_min=f（1）=1，
即有m²+m+1＜1，解得-1＜m＜0．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-1，0）；
（2）依題意：關(guān)于x的方程f（x）=3x+a在區(qū)間[1，3]上恰好有兩個相異的實根，
即方程x²-2lnx=3x+a在區(qū)間[1，3]上恰好有兩個相異的實根．
∴化簡得方程x²-2lnx-3x-a=0在區(qū)間[1，3]上恰好有兩個相異的實根，
令g（x）=x²-2lnx-3x-a，（x＞0）
∴g′（x）=2x-$\frac{2}{x}$-3=$\frac{（2x+1）（x-2）}{x}$，
令g′（x）=0，得x=2，
∴當x∈（0，2）時，g′（x）＜0；當x∈（2，+∞）時，g′（x）＞0．
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)
∴要使方程x²-2lnx-3x-a=0在區(qū)間[1，3]上恰好有兩個相異的實根，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＞0}\\{g（2）＜0}\\{g（3）＞0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-2-a＞0}\\{-2-2ln2-a＜0}\\{-2ln3-a＞0}\end{array}\right.$，
解得-2-2ln2＜a＜-2ln3
∴實數(shù)a的取值范圍是（-2-2ln2，-2ln3）．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．