已知a1=2，點(diǎn)（an，an+1）在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖象上，其中n=1，2，3，…
（1）證明數(shù)列{lg（1+an）}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（3）記，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)Sn，并證明．
【答案】分析：（1）把點(diǎn)（an，an+1）代入函數(shù)式，整理得an+1+1=（an+1）2，兩邊取對(duì)數(shù)整理得，進(jìn)而判斷{lg（1+an）}是公比為2的等比數(shù)列．
（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求的數(shù)列{lg（1+an）}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求的an代入到Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）求的Tn．
（3）把（2）求的an代入到，用裂項(xiàng)法求和求得項(xiàng)，又，原式得證．
解答：解：（Ⅰ）由已知an+1=an2+2an，
∴an+1+1=（an+1）2
∵a1=2
∴an+1＞1，兩邊取對(duì)數(shù)得lg（1+an+1）=2lg（1+an），
即
∴{lg（1+an）}是公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg（1+an）=2n-1•lg（1+a1）=
∴∴
∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）===
（Ⅲ）∵an+1=an2+2an
∴an+1=an（an+2）
∴
∴
又
∴
∴Sn=b1+b2++bn==
∵
∴
又
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的求和問題．考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合掌握．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列給出的四個(gè)命題中：
①已知數(shù)列{an}，那么對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)Pn（n，an）都在直線y=2x+1上是{an}為等差數(shù)列的充分不必要條件；
②“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分條件；
③設(shè)圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，分別為A（x1，0），B（x2，0），C（0，y1），D（0，y2），則x1x2-y1y2=0；
④在實(shí)數(shù)數(shù)列{an}中，已知a1=0，|a2|=|a1-1|，|a3|=|a2-1|，…，|an|=|an-1-1|，則a1+a2+a3+a4的最大值為2．
其中為真命題的是
 
（寫出所有真命題的代號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，點(diǎn)A在直線l上的射影為A1，點(diǎn)B在l上的射影為B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=
2
，
求：二面角A1-AB-B1的大小的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺(tái)二模）設(shè)向量
a
=（a1，a2），
b
=（b2，b2），定義一種向量
a
?
b
=（a1，a2）?（b1，b2）=（a1b2，a2b2）．已知
m
=(2，
1
2
)，
n
=(
π
3
，0)，點(diǎn)，（x，y）在y=sin x的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)且滿足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則y=f（x）的最大值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點(diǎn)T，與AQ相交于兩點(diǎn)B，C．求證：BT平分∠OBA
（2）若點(diǎn)A（2，2）在矩陣M=
.
cosα-sinα
sinαcosα
.
對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣；
（3）在極坐標(biāo)系中，A為曲線ρ2+2ρcosθ-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動(dòng)點(diǎn)，求AB的最小值；
（4）已知a1，a2…an都是正數(shù)，且a1•a2…an=1，求證：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
x2+1
．
（1）求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈(-
3
4
，+∞)時(shí)，證明函數(shù)y=f（x）圖象在點(diǎn)(
1
3
，
3
10
)處切線的下方；
（3）利用（2）的結(jié)論證明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
3
4
，+∞)，且a+b+c=1，證明：
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
≤
9
10
”；
（4）已知a1，a2，…，an是正數(shù)，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的證明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值．（只指出正確結(jié)論，不要求證明）

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