Question

已知函數(shù)f(x)=

x

x2+1

．
（1）求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈(-

3

4

，+∞)時，證明函數(shù)y=f（x）圖象在點(

1

3

，

3

10

)處切線的下方；
（3）利用（2）的結(jié)論證明下列不等式：“已知a，b，c∈(-

3

4

，+∞)，且a+b+c=1，證明：

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

”；
（4）已知a₁，a₂，…，a_n是正數(shù)，且a₁+a₂+…+a_n=1，借助（3）的證明猜想

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值．（只指出正確結(jié)論，不要求證明）

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常用導(dǎo)數(shù)法，可以先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大于0解出函數(shù)增區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)小于0解出函數(shù)的減區(qū)間；
（2）先求出點(

1

3

，

3

10

)處切線的方程，再通過比較-

3

4

＜x＜+∞時兩函數(shù)函數(shù)值的大小證明；
（3）由（2）

x

x2+1

≤

36x+3

50

，得

a

a2+1

≤

36a+3

50

，

b

b2+1

≤

36b+3

50

，

c

c2+1

≤

36c+3

50

，將三式相加即可證得不等式．
（4）由（3）的證明結(jié)論總結(jié)規(guī)律，寫出符合規(guī)律的猜想：

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值是

n2

n2+1

．

解答：解：（1）f（x）=

x

x2+1

的定義域是（-∞，+∞），因為f'（x）=

1-x2

(x2+1)2

，所以f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞減，在[-1，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）上單調(diào)遞減．…（4分）
（2）y=f（x）的圖象在點（x₀，f（x₀））處的切線方程為y-

x0

1+ x 0 2

=

1- x 2 0

(1+ x 2 0 )2

(x-x0)
當(dāng)x₀=

1

3

時，函數(shù)在點（

1

3

，

3

10

）處的切線方程是y-

3

10

=

18

25

（x-

1

3

），即y=

36x+3

50

 …（7分）
要證當(dāng)-

3

4

＜x＜+∞時，證明函數(shù)圖象在點（

1

3

，

3

10

）處切線的下方，只需證明

x

x2+1

≤

36x+3

50

，成立． 這等價于證明（3x-1）²（4 x+3）≥0，這是顯然的．…（10分）
（3）由（2）

x

x2+1

≤

36x+3

50

，知

a

a2+1

≤

36a+3

50

，

b

b2+1

≤

36b+3

50

，

c

c2+1

≤

36c+3

50

．
將三個不等式相加得

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

．…（13分）
（4）由（3）：“已知a，b，c∈(-

3

4

，+∞)，且a+b+c=1，必有

a

a2+1

+

b

b2+1

+

c

c2+1

≤

9

10

”；不等式左邊是三個式子的和，分母都是分子的平方加1，不等式右邊是個分?jǐn)?shù)，分子是3的平方，而分母是3的平方加1，3正好對應(yīng)a，b，c數(shù)個個數(shù)3，
又a₁，a₂，…，a_n是正數(shù)，且a₁+a₂+…+a_n=1，故可猜想

n

k=1

ak

a 2 k +1

的最大值是

n2

n2+1

．…（16分）

點評：本題考查不等式的證明，恒等式的證明，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，本題綜合性強運算量大，且證明方法新穎，考查判斷推理的能力，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題設(shè)中的條件與要證的結(jié)論分析出恰當(dāng)?shù)淖C明方法．