已知函數(shù)f(x)=px3+qx+k是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)=-1是函數(shù)f(x)的極值．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)在y=f(x)的曲線上是否存在不同的兩個(gè)整點(diǎn)M、N，使得過M點(diǎn)的切線與過N點(diǎn)的切線平行，且它們與直線刪的夾角為45°．若存在，求出M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解：(Ⅰ)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù).

∴f(0)=0  k=0 

又f′(x)=3px2+q  且f(1)=-1是函數(shù)的極值.

∴即解之得 

∴f（x）= 

(Ⅱ)設(shè)M(x1，y1)，N（x2，y2）.(x1≠x2)

∵f′(x)=

∴過M、N的切線斜率分別為

k1=
由題意知kl=k2  ∴

但x1≠x2  ∴x1=-x2，從而y1=-y2

直線MN的斜率k3=

∵過M的直線與MN夾角為45°

∴

化簡(jiǎn)得或

由得△＜0  ∴方程無解

由+13=0得或.

∴x1=±1或x1=±  (舍去)

∴M(1，-1)，N(-1，1)或M(-1，1)，N(1，-1).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時(shí)（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
-x3+x2+bx+c
 ，(x＜1)
alnx
 ，(x≥1)
的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．
（1）試確定實(shí)數(shù)b，c的值，并求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（2）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
1
2
ax2+bx(a≠0)，h(x)=
2(x-1)
x+1

（1）當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在其定義域范圍是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，證明f（x）＞h（x）成立；
（3）記函數(shù)f（x）與g（x）的圖象分別是C1、C2，C1、C2相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，過線段PQ的中點(diǎn)R作垂直于x軸的垂線，與C1、C2分別交于M、N，問是否存在點(diǎn)R，使得曲線C1在M處的切線與曲線C2在N處的切線平行？若存在，試求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x+
tx
(x＞0)，過點(diǎn)P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Tn＜m（Sn+1+1）對(duì)一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a（a＞1）是否存在這樣的數(shù)列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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