Question

經(jīng)過原點(diǎn)作圓x²＋y²＋2x－4y＋4=0的割線，交圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

Answer 1

解法一:設(shè)弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y).

由x²＋y²＋2x－4y＋4=0得(x＋1)²＋(y－2)²=1.

設(shè)圓心為C，則C(－1，2).

連結(jié)CM，則CM⊥OM.∴k_CM·k_OM=－1.

當(dāng)x≠0且x≠－1時，有·=－1.

化簡得x²＋y²＋x－2y=0.

當(dāng)x=0時，點(diǎn)M不存在.

當(dāng)x=－1時，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，

∴M(－1，2)適合方程x²＋y²＋x－2y=0.

∵點(diǎn)M在圓內(nèi)，

∴點(diǎn)M的軌跡為圓x²＋y²＋2x－4y＋4=0內(nèi)的部分.

由得x₁=－，x₂=0.

∴－＜x＜0.

故弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是x²＋y²＋x－2y=0(－＜x＜0).

解法二:設(shè)弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y).

由x²＋y²＋2x－4y＋4=0得圓心C的坐標(biāo)為(－1，2)，連結(jié)CM，則CM⊥OM.

∴點(diǎn)M在以OC為直徑的圓上.

∵OC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(－，1)，

|OC|==,

∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x＋)²＋(y－1)²=，即x²＋y²＋x－2y=0.

由得x₁=－，x₂=0.

∴－＜x＜0.

故弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是x²＋y²＋x－2y=0(－＜x＜0).