Question

已知向量

m

=(sin2x，2cos2x)，

n

=(sinφ，cosφ)其中0＜φ＜π，函數(shù)f(x)=

m

•

n

-1-sin(

π

2

+φ)的一個(gè)零點(diǎn)是

π

6

．
（1）求φ的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)和函數(shù)式，寫出f（x）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，把x的值代入求出φ．也得到了函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)上一問(wèn)所得的函數(shù)解析式，寫出經(jīng)過(guò)平移以后的解析式，根據(jù)所給的函數(shù)的自變量的取值，做出函數(shù)的值域，寫出函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sin2x，2cos2x)，

n

=(sinφ，cosφ)
∴函數(shù)f(x)=

m

•

n

-1-sin(

π

2

+φ)=sin2xsinφ+2cos²xcosφ-1-cosφ
=sin2xsinφ+cos2xcosφ-1=sin（2x+φ）-1
∵函數(shù)f(x)=

m

•

n

-1-sin(

π

2

+φ)的一個(gè)零點(diǎn)是

π

6

．
∴sin（2×

π

6

+φ）-1=0，
∴φ=

π

6

（2）由上一問(wèn)可以得到f（x）=sin（2x+

π

6

）-1
將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象
∴g（x）=sin（4x+

π

6

）-1
∵x∈[

π

6

，

π

4

]，
∴4x+

π

6

∈[

5π

6

，

7π

6

]
∴g（x）的值域是[-

3

2

，-

1

2

]
即函數(shù)的最大值是-

1

2

，最小值是-

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查確定函數(shù)的解析式，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)所給的函數(shù)式的整理，這是后面能夠做對(duì)題目的關(guān)鍵之處，本題是一個(gè)綜合題目．