Question

如圖，圓與坐標軸交于點.

⑴求與直線垂直的圓的切線方程；

⑵設點是圓上任意一點（不在坐標軸上），直線交軸于點，直線交直線于點，

①若點坐標為，求弦的長；②求證：為定值.

 

 

Answer 1

（1），（2）①：2，②：證明略.

【解析】

試題分析：（1）所求直線與垂直，則斜率為負倒數(shù)關系，因此可依方程設出所求直線方程，利用圓心到此直線的距離為半徑可求出此直線方程；（2）①為�？键c，利用弦心距，半徑，弦長的一半三者構(gòu)成勾股定理的關系求解；②設直線的方程為：，把轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式進行運算，也可設，把轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式進行運算.

試題解析：，直線，⑴設所求切線方程為：，則，所以：；

⑵①：，圓心到直線的距離，所以弦的長為；（或由等邊三角形亦可）.

②解法一：設直線的方程為：存在，，則

由，得，所以或，將代入直線，得，即，則，：，，，得，所以為定值．

解法二：設，則，直線，則，，直線，又，與交點，，將，代入得，所以，得為定值.

考點：點到線的距離公式，直線的點斜式，斜截式方程，直線與圓相交問題，化歸與轉(zhuǎn)化思想