Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=4，E、F依次是PB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PB⊥平面AEFD；
（2）求直線EC與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥PA，結(jié)合AD⊥AB，得AD⊥平面PAB，從而AD⊥PB，最后根據(jù)△PAB中，中線AE⊥PB且AE、AD是平面AEFD內(nèi)的相交直線，證出PB⊥平面AEFD；
（2）取PA中點(diǎn)G，CD中點(diǎn)H，連接EG、GH、GD，證明∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角，求出GH，即可求出直線EC與平面PAD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形
∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB
∵E是PB的中點(diǎn)，AB=AP，∴AE⊥PB
∵AB∩AE=A，
∴PB⊥平面AEFD…（6分）
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，…（8分）
取PA中點(diǎn)G，CD中點(diǎn)H，連接EG、GH、GD，
則EG∥AB∥CD且EG=

1

2

AB=1，
∴EGHC是平行四邊形，∴EC∥HG
∴∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角…（12分）
在Rt△GAD中，GH=

18

，sin∠HGD=

HD

GH

=

1

18

=

2

6

，
∴直線EC與平面PAD所成角的正弦值為

2

6

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題在四棱錐中，證明了線面垂直并求直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．