Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別是、.

（1）若為等邊三角形，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓的短軸長為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)、，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)、，以及為等邊三角形，列出方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題干條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由題意得出，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入韋達(dá)定理求出的值，即可求出直線的方程.

（1）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，

短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，且為等邊三角形，

則，解得，，

因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）橢圓的短軸長為，得，

又橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，則，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

由題意可知，直線不可能與軸重合，

設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，

消去得，.

由韋達(dá)定理得，，

由于以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則，

且，，

，解得.

因此，直線的方程為或.