求證：y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b（a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)），三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
分析：對(duì)于“至少”型的問題，可利用反證法，導(dǎo)出矛盾即可．
解答：證明：假設(shè)這三條拋物線全部與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或沒有交點(diǎn)，
則有
△1=4b2-4ac≤0
△2=4c2-4ab≤0
△3=4a2-4bc≤0
三式相加，得a2+b2+c2-ab-ac-bc≤0?（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0．
∴a=b=c與a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)矛盾，
∴這三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，突出考查反證法的應(yīng)用，利用反證法時(shí)得到a2+b2+c2-ab-ac-bc≤0是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想與推理證明的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=ax2+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．
（1）求證：此函數(shù)的圖象與x軸交于相異的兩個(gè)點(diǎn)．
（2）設(shè)函數(shù)圖象截x軸所得線段的長為l，求證：
3
＜l＜2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三個(gè)函數(shù)y=sinx+1，y=
x2-2x+2+t
，y=
1
2
(x+
1-t
x
)(x＞0)，它們各自的最小值恰好是函數(shù)
f（x）=x3+ax2+bx+c的三個(gè)零點(diǎn)（其中t是常數(shù)，且0＜t＜1）
（1）求證：a2=2b+2
（2）設(shè)f（x）=x3+ax2+bx+c的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為（x1，m），（x2，n），若|x1-x2|=
6
3
，求f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象上有兩點(diǎn)A1（m1，y1），A2（m2，y2），滿足a2+（y1+y2）a+y1•y2=0．
求證：
（1）存在i∈{1，2}，使yi=-a；
（2）拋物線y=ax2+bx+c與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（3）若使該圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0）（x2，0），（x1＜x2），則存在i∈{1，2}，使x1＜mi＜x2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•梅州一模）數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=1，前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)（n，Sn），（4，10）都在二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象上，數(shù)列{an}滿足
bn
an
=2n．
（1）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn=（1-
1
n+1
）-
1
an
，Rn=
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
+…+
1
cn
，求對(duì)?n∈N*，m＞Rn都成立的最小正整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a是正整數(shù)，拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（-1，4），B（2，1），并且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的最小值；
（Ⅱ）求證：此拋物線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)不超過-
178
．

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