Question

已知三個函數(shù)y=sinx+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

(x+

1-t

x

)(x＞0)，它們各自的最小值恰好是函數(shù)
f（x）=x³+ax²+bx+c的三個零點(diǎn)（其中t是常數(shù)，且0＜t＜1）
（1）求證：a²=2b+2
（2）設(shè)f（x）=x³+ax²+bx+c的兩個極值點(diǎn)分別為（x₁，m），（x₂，n），若|x1-x2|=

6

3

，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）求出三個函數(shù)y=sinx+1，y=

x2-2x+2+t

，y=

1

2

(x+

1-t

x

)(x＞0)的最小值，并代入f（x）=x³+ax²+bx+c，求得c=0，且方程x²+ax+b=0的兩根是

1+t

，

1-t

，利用韋達(dá)定理即可證得結(jié)論；
（2）求導(dǎo)，根據(jù)題意方程f′（x）=0的兩個根為x₁，x₂，利用韋達(dá)定理求出b，a²=2b+2=3，解方程即可求得a值，從而求得f（x）．

解答：解：（1）三個函數(shù)的最小值依次為0，

1+t

，

1-t

由f（0）=0∴c=0
∴f（x）=x（x²+ax+b），故方程x²+ax+b=0的兩根是

1+t

，

1-t

1+t + 1-t =-a 1+t • 1-t =b

，
由(

1+t

+

1-t

)2=(-a)2
∴a²=2b+26
（2）f′（x）=3x²+2ax+b，方程f′（x）=0的兩個根為x₁，x₂
∴x1+x2=-

2

3

，x1x2=

b

3

且△＞0得4a²-4•3b＞0，b＜2
由|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( -2a 3 )2-4 b 3

=

2

3

2-b

=

6

3

∴b=

1

2

，∴a²=2b+2=3
由

1+t

+

1-t

=-a＞0

&∴a＜0，

∴a=-

3

∴f(x)=x3-

3

x2+

1

2

點(diǎn)評：此題考查函數(shù)的最值和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，在解題時注意韋達(dá)定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了方程的思想，同時考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．