Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明：無論m取什么實數(shù)，L與圓恒交于兩點；
（2）求直線被圓C截得的弦長最小時直線L的斜截式方程．

Answer 1

分析：（1）將直線l方程整理后，確定出恒過的定點A坐標(biāo)，判斷A在圓C內(nèi)部，即可確定出無論m取什么實數(shù)，L與圓恒交于兩點；
（2）當(dāng)直線被圓C截得的弦長最小時，直線l與直線AM垂直，根據(jù)直線AM的斜率求出l的斜率，再由A的坐標(biāo)即可確定出直線l方程．

解答：解：（1）將直線l方程整理得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
由

x+y-4=0 2x+y-7=0

，解得：

x=3 y=1

，
∴直線l恒過A（3，1），
∵（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
∴點A在圓C內(nèi)部，
則直線l與圓恒有兩個交點；
（2）由圓的方程得到圓心M（1，2），當(dāng)截得的弦長最小時，直線l⊥AM，
∵k_AM=-

1

2

，∴直線l斜率為2，
則直線l的方程為y-1=2（x-2），即2x-y-5=0．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及恒過定點的直線方程，根據(jù)題意得出截得的弦長最小時，直線l⊥AM是解本題第二問的關(guān)鍵．