Question

如圖，在四面體ABCD中，P、Q分別為棱BC與CD上的點，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R為棱AD的中點，則點A、B到平面PQR的距離的比值為         ．

Answer 1

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：A、B到平面PQR的距離分別為三棱錐APQR與BPQR的以三角形PQR為底的高．故其比值等于這兩個三棱錐的體積比．

V_APQR＝V_APQD＝×V_APCD＝××V_ABCD＝V_ABCD；
又，S_BPQ＝S_BCD－S_BDQ－S_CPQ＝(1－－×)S_BCD＝S_BCD，
V_RBPQ＝V_RBCD＝×V_ABCD＝V_ABCD．∴ A、B到平面PQR的距離的比＝1∶4．
又，可以求出平面PQR與AB的交點來求此比值：
在面BCD內(nèi)，延長PQ、BD交于點M，則M為面PQR與棱BD的交點．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．
在面ABD內(nèi)，作射線MR交AB于點N，則N為面PQR與AB的交點．
由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝．
∴ A、B到平面PQR的距離的比＝1∶4．