Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=（2-t）•2^x+（t-3），其中t為常數(shù)，且t∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）求函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{4}^{x}}$在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用代入法，計(jì)算即可得到f（0）；
（2）化簡(jiǎn)g（x），設(shè)m=2^-x，由x∈[0，1]，可得m∈[$\frac{1}{2}$，1]，則h（m）=（t-3）m²+（2-t）m，對(duì)t討論，求出對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（2-t）•2^x+（t-3），
即有f（0）=（2-t）•2⁰+t-3=-1；
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{{4}^{x}}$=$\frac{2-t}{{2}^{x}}$+$\frac{t-3}{{4}^{x}}$，
設(shè)m=2^-x，由x∈[0，1]，可得m∈[$\frac{1}{2}$，1]，
則h（m）=（t-3）m²+（2-t）m
當(dāng)t=3，則h（m）=-m的最小值為-1；
當(dāng)t＞3時(shí)，①當(dāng)t＞4時(shí)，對(duì)稱軸$\frac{t-2}{2（t-3）}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
最小值為-$\frac{（2-t）^{2}}{4（t-3）}$；
②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，區(qū)間[$\frac{1}{2}$，1]為減區(qū)間，
即有最小值為h（1）=-1；
當(dāng)t＜3時(shí)，對(duì)稱軸m=$\frac{t-2}{2（t-3）}$＜$\frac{1}{2}$，在[$\frac{1}{2}$，1]遞減，
即有最小值為h（1）=-1．
綜上可得，當(dāng)t≤4時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值為-1；
當(dāng)t＞4時(shí)，最小值為-$\frac{（2-t）^{2}}{4（t-3）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，以及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．