Question

給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1；
②存在實(shí)數(shù)α，使sinα+cosα=

3

2

；
③y=sin(

5π

2

-2x)是偶函數(shù)；
④x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的一條對(duì)稱軸方程．
其中正確命題的序號(hào)是

 

Answer 1

分析：根據(jù)二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，結(jié)合正弦函數(shù)的值域可判斷①；
根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

）結(jié)合正弦函數(shù)的可判斷②；
根據(jù)誘導(dǎo)公式得到y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，再由余弦函數(shù)的奇偶性可判斷③；
將x=

π

8

代入到y(tǒng)=sin（2x+

5π

4

）得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性可判斷④．

解答：解：∵sinαcosα=

1

2

sin2α=1∴sin2α=2，與正弦函數(shù)的值域矛盾，故①不對(duì)；
∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

）≤

2

＜

3

2

，從而可判斷②不對(duì)；
∵y=sin(

5π

2

-2x)=sin（

π

2

-2x）=cos2x，為偶函數(shù)，故③正確；
將x=

π

8

代入到y(tǒng)=sin（2x+

5π

4

）得到sin（2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，
故x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5π

4

)的一條對(duì)稱軸方程，故④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的公式、誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的對(duì)稱性．考查三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用．三角函數(shù)的公式比較多，很容易記混，平時(shí)要注意積累．