Question

5．已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x²+4xy+2y²+x²y²≤9，求u=2$\sqrt{2}$（x+y）+xy的最大值與最小值．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)可得2（x+y）²+x²y²≤9，從而令x+y=w，xy=v，從而得到2w²+v²≤9，u=2$\sqrt{2}$w+v，w=-$\frac{v}{2\sqrt{2}}$+$\frac{u}{2\sqrt{2}}$，從而利用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可．

解答 解：∵2x²+4xy+2y²+x²y²≤9，
∴2（x+y）²+x²y²≤9，
令x+y=w，xy=v，
則2w²+v²≤9，
即$\frac{{w}^{2}}{4.5}$+$\frac{{v}^{2}}{9}$≤1，
u=2$\sqrt{2}$（x+y）+xy=2$\sqrt{2}$w+v，
∴w=-$\frac{v}{2\sqrt{2}}$+$\frac{u}{2\sqrt{2}}$，
作圖如下，
，
由$\left\{\begin{array}{l}{2{w}^{2}+{v}^{2}=9}\\{w=-\frac{\sqrt{2}}{4}v+\frac{\sqrt{2}}{4}u}\end{array}\right.$有且只有一個(gè)解知，
即5v²-2uv+u²-36=0只有一個(gè)解，
故△=4u²-4×5×（u²-36）=0，
從而解得，u=3$\sqrt{5}$或u=-3$\sqrt{5}$；
故u=2$\sqrt{2}$（x+y）+xy的最大值為3$\sqrt{5}$，最小值為-3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．