已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a,b,c成等比數(shù)列
(1)若sinC=2sinA,求cosB的值;
(2)求角B的最大值.并判斷此時(shí)△ABC的形狀.
分析:(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式,得到c=2a,再有a,b,c成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式,利用余弦定理表示出cosB,將得出的關(guān)系式代入計(jì)算即可求出值;
(2)由表示出的cosB,將b2=ac代入利用基本不等式變形求出cosB的最小值,由余弦函數(shù)在[0,π]上為減函數(shù),確定出B的最大值,由此時(shí)a=c及b2=ac,得出三角形ABC為等邊三角形.
解答:解:(1)sinC=2sinA利用正弦定理化簡(jiǎn)得:c=2a,
∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac=2a2,即b=
2
a,
∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+4a2-2a2
4a2
=
3
4

(2)∵b2=ac,
∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
2ac-ac
2ac
=
1
2
,
∵函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,π]上為減函數(shù),
∴B∈(0,
π
3
],即角B的最大值為
π
3
,
此時(shí)有a=c,且b2=ac,可得a=b=c,
則△ABC為等邊三角形.
點(diǎn)評(píng):此題考查了正弦、余弦定理,三角形形狀的判斷,等比數(shù)列的性質(zhì),以及余弦函數(shù)的單調(diào)性,熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,下列結(jié)論中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,若
PA
+
PB
+
PC
=
AB
,則點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)ABC及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若實(shí)數(shù)λ滿足:
AB
+
AC
=λ
AP
,則λ的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3)、B(3,1)、C(-1,0),求BC邊上的高所在的直線方程.
(2)過(guò)橢圓
x2
16
+
y2
4
=1
內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)引一條弦,使得弦被M點(diǎn)平分,求此弦所在的直線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足:
PA
+
PB
+
PC
=
0
,若實(shí)數(shù)λ 滿足:
AB
+
AC
AP
,則λ的值為( 。
A、3
B、
2
3
C、2
D、8

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