Question

若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)f(x)=sin(x+φ)(x∈R，0＜φ＜

π

2

)，試判斷f（x）是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（2）設(shè)f（x）=2^x+m是定義在[-1，1]上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用兩角和與差的正弦公式，化簡f（-x）+f（x），再由由局部奇函數(shù)的定義，即可判斷；
（2）根據(jù)局部奇函數(shù)的定義，可得方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，運(yùn)用換元法，令t=2^x∈[

1

2

，2]，則-2m=t+

1

t

，求出右邊的最值即可；
（3）根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m²-8=0有解即可．設(shè)t=2^x+2^-x，則t=2^x+2^-x≥2，即有方程等價(jià)為t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2時(shí)有解，設(shè)g（t）=t²-2m?t+2m²-8，由對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，列出不等式，解出即可．

解答： 解：（1）由于f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜

π

2

），f（-x）=sin（-x+φ）=-sin（x-φ），
則f（-x）+f（x）=sin（x+φ）-sin（x-φ）=2cosxsinφ，由于0＜φ＜

π

2

，則0＜sinφ＜1，
當(dāng)x=

π

2

時(shí)，f（-x）+f（x）=0成立，由局部奇函數(shù)的定義，可知該函數(shù)f（x）為“局部奇函數(shù)”；
（2）根據(jù)局部奇函數(shù)的定義，f（x）=2^x+m時(shí)，f（-x）=-f（x）可化為2^x+2^-x+2m=0，
因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)閇-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解，
令t=2^x∈[

1

2

，2]，則-2m=t+

1

t

，
設(shè)g（t）=t+

1

t

，則g'（t）=1-

1

t2

=

t2-1

t2

，
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上為減函數(shù)，
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以t∈[

1

2

，2]時(shí)，g（t）∈[2，

5

2

]．所以-2m∈[2，

5

2

]，
即m∈[-

5

4

，-1]．
（3）根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，
即f（-x）=4^-x-m2^-x+1+m²-3=-（4^x-m2^x+1+m²-3），
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0，
即（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m²-8=0有解即可．
設(shè)t=2^x+2^-x，則t=2^x+2^-x≥2，
∴方程等價(jià)為t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2時(shí)有解，
設(shè)g（t）=t²-2m?t+2m²-8，
對(duì)稱軸x=-

-2m

2

=m，
①若m≥2，則△=4m²-4（2m²-8）≥0，
即m²≤8，
∴-2

2

≤m≤2

2

，此時(shí)2≤m≤2

2

，
②若m＜2，要使t²-2m?t+2m²-8=0在t≥2時(shí)有解，
則

m＜2 g(2)≤0 △≥0

，即

m＜2 1- 3 ≤m≤1+ 3 -2 2 ≤m≤2 2

，
解得1-

3

≤m＜2，
綜上得，1-

3

≤m≤2

2

..

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查方程有解的條件及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，以及指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．