如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=,M,N分別為PB,PD的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面ABCD;
(2) 過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.
(1)只需證 MN∥BD;(2)。
解析試題分析:(1)如圖,連接BD.∵M(jìn),N分別為PB,PD的中點(diǎn),∴在△PBD中,MN∥BD.
又MN?平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.
(2)如圖建系:A(0,0,0),P(0,0,2),M,N(,0,),C(,3,0).
設(shè)Q(x,y,z),則C=(x-,y-3,z),C=(-,-3,2).
∵C=λC=(-λ,-3λ,2λ),∴Q(-λ,3-3λ,2λ).
由A⊥C⇒A·C=0,得λ=.即:Q
對(duì)于平面AMN:設(shè)其法向量為n=(a,b,c).
∵A=,A=(,0,).
則⇒⇒
∴n=.
同理對(duì)于平面QMN,得其法向量為v=
記所求二面角A-MN-Q的平面角大小為θ,則cosθ=.
∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為.
考點(diǎn):線面垂直的性質(zhì)定理;線面平行的判定定理;二面角。
點(diǎn)評(píng):二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類(lèi)問(wèn)題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說(shuō)三求。②向量法,運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角,但結(jié)果往往求不對(duì),出現(xiàn)的問(wèn)題就是計(jì)算錯(cuò)誤。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在等腰梯形中,,,,是的中點(diǎn).將梯形繞旋轉(zhuǎn),得到梯形(如圖).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在五棱錐P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, ABC=,AB=2,BC=2AE=4,是等腰三角形.
(Ⅰ)求證:平面PCD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求四棱錐P—ACDE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,面為正方形,面為等腰梯形,,,,.
(1)求證:;
(2)求三棱錐的體積;
(3)線段上是否存在點(diǎn),使//平面?證明你的結(jié)論.
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如圖,四邊形與都是邊長(zhǎng)為的正方形,點(diǎn)E是的中點(diǎn),
求證:;
求證:平面;
求體積與的比值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖(1),是等腰直角三角形,其中,分別為的中點(diǎn),將沿折起,點(diǎn)的位置變?yōu)辄c(diǎn),已知點(diǎn)在平面上的射影為的中點(diǎn),如圖(2)所示.
(1)求證:;
(2)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖所示,在四面體中,,,兩兩互相垂直,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的大。
(3)若直線與平面所成的角為,求線段的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,為圓的直徑,點(diǎn)、在圓上,,矩形所在的平面與圓所在的平面互相垂直.已知,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的大。
(Ⅲ)當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí),平面與平面所成的銳二面角的大小為?
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