已知雙曲線的左、右焦點分別為F1F2，離心率e=
2
，且過（4，-
10
），
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）直線x=3與雙曲線交于M，N兩點，求證：F1M⊥F2M．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知得e=
c
a
=
2
，從而設雙曲線的標準方程為x2-y2=a2，代入點（4，-
10
），能求出雙曲線的標準方程．
（2）由（1）得F1（-2
3
，0），F(xiàn)2（2
3
，0），M（3，
3
），N（3，-
3
），由此能證明F1M⊥F2M．
解答： 解：（1）∵雙曲線的左、右焦點分別為F1F2，
離心率e=
2
，且過（4，-
10
），
∴e=
c
a
=
2
，∴c2=2a2，∴b2=c2-a2=a2，
設雙曲線的標準方程為x2-y2=a2，
代入點（4，-
10
），得a2=16-10=6，
∴雙曲線的標準方程為x2-y2=6．…（6分）
（2）由（1）得F1（-2
3
，0），F(xiàn)2（2
3
，0），
M（3，
3
），N（3，-
3
），
∴kF1M=
3
3+2
3
，∴kF1M=
3
3-2
3
，
∴kF1M•kF1M=-1，∴F1M⊥F2M．…（12分）
點評：本題考查雙曲線標準方程的求法，考查兩直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
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相關習題

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下列選項敘述錯誤的是（　�。�
A、若p∨q為真命題，則p，q均為真命題
B、若命題p：?x∈R，x2+x+1≠0，則￢p：?x∈R，x2+x+1=0
C、命題“若x≠1，則x2-3x+2≠0”的逆否命題是“若x2-3x+2=0則x=1”
D、“x＞2”是“x2-3x+2＞0”的充分不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

∫
2
1
1
x
dx等于（　�。�
A、-2ln2
B、
3
2
C、-ln2
D、ln2

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已知∅表示空集，N表示自然數(shù)集，則下列關系式中，正確的是（　�。�
A、0∈∅B、∅⊆N
C、0⊆ND、∅∈N

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棱長都相等的正棱錐不可能是（　�。�
A、正三棱錐B、正四棱錐
C、正五棱錐D、正六棱錐

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已知集合A={a+2，（a+1）2，|a|}，若1∈A，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1．
（1）若函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，則求實數(shù)a的取值范圍．
（2）當a=3時，求f（x）的極值；并寫出此時函數(shù)的增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+m+2（a＞0），
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]內(nèi)沒有極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=2時，方程f（x）=0有三個互不相同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2+a
ex
（x∈R）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）當a=-8時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）試比較
1+12
e
+
1+22
e2
+
1+32
e3
+…+
1+n2
en
與
5n
4
e -
1
2
（其中n∈N*）的大�。�

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