已知數(shù)列an和bn滿足:a1=λ,,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ為實(shí)數(shù),n為正整數(shù).
(1)試判斷數(shù)列an是否可能為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)a>0,Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,如果對(duì)于任意正整數(shù)n,總存在實(shí)數(shù)λ,使得不等式a<Sn<a+1成立,求正數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(1)題目要求試判斷數(shù)列an是否可能為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論,故本題要先做出判斷,然后再證明,證明方法是先假設(shè)其成立,引入?yún)?shù),由等比的性質(zhì)建立方程,看參數(shù)能不能求出,若能求出,則說(shuō)明是,否則說(shuō)明不是.
(2)研究數(shù)列相鄰兩項(xiàng),看相鄰項(xiàng)的關(guān)系,以確定數(shù)列bn的性質(zhì),然后求出其通項(xiàng)公式;
(3)求出數(shù)列的前n項(xiàng)和,然后根據(jù)形式求出其最值,則參數(shù)的范圍易知.
解答:解:(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)λ,數(shù)列an不可能為等比數(shù)列.
證明:假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使{an}是等比數(shù)列,則有a22=a1a3,,即,矛盾.
所以{an}不是等比數(shù)列.
(2)因?yàn)閎n+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1an-2n+14)=-(-1)n•(an-3n+21)=-bn
又b1=-(λ+18),所以,當(dāng)λ=-18,bn=0(n∈N+);
當(dāng)λ≠-18時(shí),b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,
(n∈N+).
∴數(shù)列{bn}是以-(λ+18)為首項(xiàng),-為公比的等比數(shù)列.bn=-(λ+18)•(-n-1
(3)由(2)知,當(dāng)λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.
∴λ≠-18,故知bn=-(λ+18)•(-n-1,
于是可得Sn=-,
要使a<Sn<a+1對(duì)任意正整數(shù)n成立,即a<-(λ+18)•[1-(-n]<a+1(n∈N+)得
,則
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),1<f(n),
∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)=,
于是,由①式得a<-(λ+18),即得-(a+1)-18<λ<-3a-18.
∴-(a+1)-18<-3a-18,

點(diǎn)評(píng):本題屬于數(shù)列綜合運(yùn)用題,考查了由所給的遞推關(guān)系證明數(shù)列的性質(zhì),對(duì)所給的遞推關(guān)系進(jìn)行研究求數(shù)列的遞推公式以及利用數(shù)列的求和公式求其和,再由和的存在范圍確定使得不等式成立的參數(shù)的取值范圍,難度較大,綜合性很強(qiáng),對(duì)答題者探究的意識(shí)與探究規(guī)律的能力要求較高,是一道能力型題.
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