Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{b_n}滿b_n=lga_n，b₃=18，b₆=12，則數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由題意可知：lga₃=b₃，lga₆=b₆．再由b₃，b₆，用a₁和q表示出a₃和b₆，進(jìn)而求得q和a₁，根據(jù){a_n}為正項(xiàng)等比數(shù)列推知{b_n}為等差數(shù)列，進(jìn)而得出數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，可知S_n的表達(dá)式為一元二次函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性進(jìn)而求得S_n的最大值．

解答：解：由題意可知：lga₃=b₃，lga₆=b₆．
又因?yàn)閎₃=18，b₆=12，所以a₁q²=10¹⁸，a₁q⁵=10¹²，
所以q³=10^-6，即q=10^-2，∴a₁=10²²．
又因?yàn)閿?shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并且且d=-2，b₁=22，
所以b_n=22+（n-1）×（-2）=-2n+24．
∴S_n=22n+

n(n-1)

2

×（-2）=-n²+23n=-(n-

23

2

)2+

529

4

，
又因?yàn)閚∈N^*，所以n=11或12時(shí)，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和的最大值為132．
故答案為132．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．