Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx-2cos²x-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及對(duì)稱軸方程；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先通過(guò)三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和對(duì)稱軸方程．
（Ⅱ）直接利用函數(shù)的定義域，利用整體思想求正弦型函數(shù)的值域，進(jìn)一步求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx-2cos²x-1
=sin2x-（cos2x+1）-1
=

2

sin(2x-

π

4

)-2．
所以：函數(shù)的最小正周期為：T=

2π

2

=π
令：2x-

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z）
（Ⅱ）由于：0≤x≤

π

2

所以：-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

所以：-1≤

2

sin(2x-

π

4

)≤

2

進(jìn)一步求得：-3≤f(x)≤

2

-2
所以：函數(shù)的最大值為：

2

-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，周期性的應(yīng)用，對(duì)稱性的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．屬于基礎(chǔ)題型．