Question

已知函數(shù)
（1）求f（x）在[0，1]上的極值；
（2）若對任意成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=-2x+b在[0，2]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x）令其=0得到函數(shù)駐點，討論函數(shù)在[0，1]上，駐點把它分成兩個區(qū)間考慮函數(shù)的增減性得到極值即可；
（2）由已知的不等式解出a的取值范圍并得到a的取值使不等式成立即可；
（3）把f（x）=-2x+b變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124754536130117/SYS201310251247545361301019_DA/0.png">并令φ′（x）利用f（a）f（b）＜0，則a與b之間有交點的方法求出b的取值即可．
解答：解：（1），
令（舍去）
∴單調(diào)遞增；
當單調(diào)遞減．
∴上的極大值；
（2）由|a-lnx|-ln[f′（x）+3x]＞0得
a＞lnx+ln3-ln（2+3x）或a＜lnx-ln3+ln（2+3x）
設，h（x）=lnx+ln3-ln（2+3x），g（x）=lnx-ln3+ln（2+3x）
依題意知上恒成立，
∵，，
∴上單增，要使不等式成立，
當且僅當；
（3）由
令，
當上遞增；
當上遞減
而，
∴f（x）=-2x+b即φ（x）=0在[0，1]恰有兩個不同實根等價于
∴
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，綜合運用方程與函數(shù)的能力，以及求導數(shù)的能力．