(2005•東城區(qū)一模)已知O為坐標原點,點E、F的坐標分別為(-1,0)和(1,0).動點P滿足|
PE
|+|
PF
|=4.
(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過E點做直線與C相交于M、N兩點,且
ME
=2
EN
,求直線MN的方程.
分析:(1)由橢圓的定義可知,到兩個定點距離之和等于定長的點的軌跡為橢圓,所以所求點P的軌跡C為橢圓,再分別求出橢圓中a,b的值即可.
(2)當斜率存在時,設出直線MN的點斜式方程,與(1)中所求橢圓方程聯(lián)立,求出x1+x2,x1x2,再根據(jù)
.
ME
=2
.
EN
,
即可求出k,得到直線MN的方程.
解答:解:(1)∵|
.
PE
|
+|
.
PF
|
=4
由橢圓的第一定義可知點P的軌跡為橢圓,
且2a=4,c=1,∴a2=4,b2=3
∴所求的橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(2)①當直線MN的斜率不存在時,不滿足題意;
②當直線MN的斜率存在時,設其方程為y=k(x+1),
代入
x2
4
+
y2
3
=1
化簡得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0
設兩交點的坐標為M(x1,y1)、N(x2,y2
x1+x2=
-8k2
3+4k2
x1x2=
4k2-12
3+4k2

M
E=2
E
N
,∴x1+2x2=-3
x2=-3+
8k2
3+4k2
=
-9-4k2
3+4k2
,x1=-3-2x2=
9-4k2
3+4k2

-9-4k2
3+4k2
×
9-4k2
3+4k2
=
4k2-12
3+4k2

k2=
5
4
,即k=±
5
2
,滿足△>0

∴所求的直線MN的方程為y=±
5
2
(x+1)
點評:本題主要考查了定義法求軌跡方程,以及直線與橢圓位置關系的判斷.
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24
25
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2
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