Question

已知梯形中，∥，，

，、分別是、上的點(diǎn)，∥，．

沿將梯形翻折，使平面⊥平面(如圖)．是的

中點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：⊥ ；

（2）求的最大值；

（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求異面直線與所成的角的余弦值．

Answer 1

（法一）（1）證明：作，垂足，連結(jié)，，

∵平面平面，交線，平面，

∴平面，又平面，故，

∵，，．

∴四邊形為正方形，故．

又、平面，且，故平面．

又平面，故．  

（2）解：∵，平面平面，交線，平面．

∴面．又由（1）平面，故，

∴四邊形是矩形，，故以、、、為頂點(diǎn)的三棱

錐 的高，

又．

∴三棱錐的體積

．    

∴當(dāng)時(shí)，有最大值為．

（3）解：由（2）知當(dāng)取得最大值時(shí)，故，

由（2）知，故是異面直線與所成的角．

在中，

由平面，平面，故

在中

，

∴．

∴異面直線與所成的角的余弦值為．

法二：（1）證明：∵平面平面，交線，平面，，故⊥平面，又、平面，

∴⊥，⊥，又⊥，取、、分別為軸、

軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示．

當(dāng)時(shí)，，，又，．

∴，，，，．

∴，，

∴．

∴，即；　 

（2）解：同法一；

（3）解：異面直線與所成的角等于或其補(bǔ)角．

又， 故

∴，故異面直線與所成的角的余弦值為．