Question

某公司建一座長方體倉庫，高為5米，占地面積為600平方米（如圖所示）中間以隔板隔開成三間，四周的造價為80元/平方米，中間的兩塊隔板的造價為40元/平方米，倉庫頂?shù)脑靸r為260元/平方米，其它造價，厚度等忽略不計．
（Ⅰ）試設(shè)計倉庫的長與寬，使總造價最低，并求出最低造價；
（Ⅱ）由于地形限制，該倉庫的寬不能超過15米，試設(shè)計倉庫的長與寬，使總造價最低，并求出最低造價．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以設(shè)寬為x米，長為

600

x

米，總造價為y，根據(jù)題中的等量關(guān)系四周的造價為80元/平方米，中間的兩塊隔板的造價為40元/平方米，倉庫頂?shù)脑靸r為260元/平方米，寫出y關(guān)于x的解析式，然后利用均值不等式進行放縮，求出最小值；
（Ⅱ）根據(jù)題意由于地形限制，該倉庫的寬不能超過15米，x有限制范圍，此時可以對y進行求導，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，再求出最小值；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)寬為x米，長為

600

x

米，總造價為y，
y=2（x+

600

x

）×5×80+2x×5×40+260×600
=（3x+

1200

x

）×400+156000≥400×2

3x× 1200 x

+156000=204000，
當且僅當3x=

1200

x

，即x=20時造價最低為：204000元；
（Ⅱ）∵x∈（0，15]，y′=400（3-

1200

x2

）＜0，
∴函數(shù)y=（3x+

1200

x

）×400+156000在（0，15]上單調(diào)遞減，
∴x=15時，y_min=206000元；

點評：本題主要考查了建立函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值的能力，同時考查了運算求解能力，屬于中檔題．