對(duì)于函數(shù)f（x）定義域中任意的x1、x2（x1≠x2）有如下結(jié)論：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）
②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0
④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2

當(dāng)f（x）=2x時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是
①③④
①③④
．
分析：當(dāng)f（x）=2x時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）定義域中任意的x1、x2（x1≠x2）：①f（x1+x2）=2x1+x1=2x1•2x2=f（x1）f（x2）；②f（x1•x2）=2x1•x2≠2x1+2x2=f（x1）+f（x2）；③由f（x）=2x是增函數(shù)，知
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；④由x1≠x2，知
f(x1) +f(x2)
2
＞
f(x1)f(x 2)
=
2x1•2x2
=2
x1+x2
2
=f(
x1+x2
2
)．
解答：解：當(dāng)f（x）=2x時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）定義域中任意的x1、x2（x1≠x2）：
①f（x1+x2）=2x1+x1=2x1•2x2=f（x1）f（x2），故①成立；
②f（x1•x2）=2x1•x2≠2x1+2x2=f（x1）+f（x2），故②不成立；
③∵f（x）=2x是增函數(shù)，∴
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，故③成立；
④∵x1≠x2，
∴
f(x1) +f(x2)
2
＞
f(x1)f(x 2)
=
2x1•2x2
=2
x1+x2
2
=f(
x1+x2
2
)，
∴f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，故④成立．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在（-1，1）上，對(duì)于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0；
（1）驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件；
（2）若f(
a+b
1+ab
)=1，f(
a-b
1-ab
)=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若f(-
1
2
)=1，試解關(guān)于x的方程f(x)=-
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：若存在常數(shù)k，使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k（x1-x2|成立，則稱函數(shù)f（x）在定義域D上滿足利普希茨條件．對(duì)于函數(shù)f（x）=
x
（x≥1）滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最小值應(yīng)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•連云港二模）已知函數(shù)f（x）定義在正整數(shù)集上，且對(duì)于任意的正整數(shù)x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，則f（2009）=
4018
4018
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時(shí)，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又?jǐn)?shù)列{an}滿足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（II）求f（an）關(guān)于n的函數(shù)解析式；
（III）令g（n）=f（an）且數(shù)列{an}滿足bn=
1
g(n)
，若對(duì)于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（p1，p2為實(shí)數(shù)），函數(shù)f（x）定義為：對(duì)于每個(gè)給定的x，f(x)=
f1(x) ，f1(x)≤f2(x)
f2(x) ，f1(x)＞f2(x)
．
（1）討論函數(shù)f1（x）的奇偶性；
（2）解不等式：f2（x）≥6；
（3）若f（x）=f1（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，求p1，p2滿足的條件．

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