定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k（x1-x2|成立，則稱函數(shù)f（x）在定義域D上滿足利普希茨條件．對于函數(shù)f（x）=
x
（x≥1）滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最小值應是（　�。�
分析：首先根據(jù)函數(shù) f(x)=
x
(x≥1)滿足利普希茨條件，得到k滿足不等式k≥
x1
-
x2
x1- x2|
=
1
x1
+
x2
；然后由x1，x2∈[1，+∞），得
1
x1
+
x2
的取值范圍，而k只需大于等于 
1
x1
+
x2
的最大值即可．
解答：解：由已知中中利普希茨條件的定義
若函數(shù)f（x）=
x
（x≥1）滿足利普希茨條件，
所以存在常數(shù)k，使得對定義域[1，+∞）內(nèi)的任意兩個x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，
 不妨設x1＞x2，則k≥
x1
-
x2
x1-x2
=
1
x1
+
x2
．
 而0＜
1
x1
+
x2
＜
1
2
，所以k的最小值為
1
2
．
故選C
點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，在能力上主要考查對新信息的理解力；及分離參數(shù)利用不等式求最值的方法．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．對于函數(shù)f（x）=sinx滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，，均有：|f（x1）-f（x2）|≥k|x1-x2|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．對于函數(shù)f(x)=lnx+
12
x2在區(qū)間（0，+∞）滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．
（1）試舉出一個滿足利普希茨（Lipschitz）條件的函數(shù)及常數(shù)k的值，并加以驗證；
（2）若函數(shù)f(x)=
x+1
在[1，+∞)上滿足利普希茨（Lipschitz）條件，求常數(shù)k的最小值；
（3）現(xiàn)有函數(shù)f（x）=sinx，請找出所有的一次函數(shù)g（x），使得下列條件同時成立：
①函數(shù)g（x）滿足利普希茨（Lipschitz）條件；
②方程g（x）=0的根t也是方程f(
3π
4
)=
2
sin(
3π
2
-
π
4
)=-
2
cos
π
4
=-1；
③方程f（g（x））=g（f（x））在區(qū)間[0，2π）上有且僅有一解．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)x1，x2，均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x12-x22|成立，則稱函數(shù)f（x）在定義域D上滿足類利普希茨條件．對于函數(shù)f(x)=
x
(x≥1)滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的最小值應是（　　）

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