Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求證：有且只有兩個零點

（2）有兩個極值點，且不等式恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出的定義域.求出，判斷的單調(diào)性.根據(jù)零點存在定理可得在區(qū)間和上各有一個零點，結(jié)合的單調(diào)性，可證有且只有兩個零點；

（2）定義域為.不等式恒成立，等價轉(zhuǎn)化為.求出，故有兩個極值點，， 即方程有兩不等實根，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，故.

令，求出，判斷的單調(diào)性，可求實數(shù)m的取值范圍.

（1）證明：當(dāng)時，函數(shù)，定義域為.

.

令，得；令，得.

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

又，

在有且只有一個零點，即在有且只有一個零點.

同理，

在有且只有一個零點，即在有且只有一個零點，

有且只有兩個零點.

（2）定義域為，

.

有兩個極值點，，

有兩不等實根，

∴，且，.

又，，.

由不等式恒成立，得

恒成立.

令，

當(dāng)時,恒成立，

在上單調(diào)遞減，∴，

.

故實數(shù)m的取值范圍是.