Question

已知函數(shù)f(x)＝x²＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范圍；

(2)解關(guān)于x的方程f(x)＝|f′(x)|；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]時的最小值．

Answer 1

解　(1)因為f(x)≤f′(x)，所以x²－2x＋1≤2a(1－x)，

又因為－2≤x≤－1，

所以a≥_max在x∈[－2，－1]時恒成立，因為≤，

所以a≥.(4分)

(2)因為f(x)＝|f′(x)|，所以x²＋2ax＋1＝2|x＋a|，

所以(x＋a)²－2|x＋a|＋1－a²＝0，則|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.(7分)

①當(dāng)a＜－1時，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；

②當(dāng)－1≤a≤1時，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，

所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；

③當(dāng)a＞1時，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)

(3)因為f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝

①若a≥－，則x∈[2,4]時，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，

從而g(x)的最小值為g(2)＝2a＋4；(12分)

②若 a＜－，則x∈[2,4]時，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x²＋2ax＋1，

當(dāng)－2≤a＜－時，g(x)的最小值為g(2)＝4a＋5，

當(dāng)－4＜a＜－2時，g(x)的最小值為g(－a)＝1－a²，

當(dāng)a≤－4時，g(x)的最小值為g(4)＝8a＋17.(14分)

③若－≤a＜－，則x∈[2,4]時，

g(x)＝

當(dāng)x∈[2,1－2a)時，g(x)最小值為g(2)＝4a＋5；

當(dāng)x∈[1－2a,4]時，g(x)最小值為g(1－2a)＝2－2a.

因為－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，

所以g(x)最小值為4a＋5，

綜上所述，

[g(x)]_min＝