Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得S_n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出數(shù)列的公差，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式求得d，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中數(shù)列的通項(xiàng)公式，表示出S_n根據(jù)S_n＞60n+800，解不等式根據(jù)不等式的解集來(lái)判斷．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，依題意，2，2+d，2+4d成比數(shù)列，故有（2+d）²=2（2+4d），
化簡(jiǎn)得d²-4d=0，解得d=0或4，
當(dāng)d=0時(shí)，a_n=2，
當(dāng)d=4時(shí)，a_n=2+（n-1）•4=4n-2．
（Ⅱ）當(dāng)a_n=2時(shí)，S_n=2n，顯然2n＜60n+800，
此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得S_n＞60n+800成立，
當(dāng)a_n=4n-2時(shí)，S_n=

n[2+(4n-2)]

2

=2n²，
令2n²＞60n+800，即n²-30n-400＞0，
解得n＞40，或n＜-10（舍去），
此時(shí)存在正整數(shù)n，使得S_n＞60n+800成立，n的最小值為41，
綜上，當(dāng)a_n=2時(shí)，不存在滿足題意的正整數(shù)n，
當(dāng)a_n=4n-2時(shí)，存在滿足題意的正整數(shù)n，最小值為41

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．要求學(xué)生對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式熟練記憶．