Question

（2012•自貢一模）要研究可導(dǎo)函數(shù)f（x）=（1+x）ⁿ（n∈N^*）在某點x₀處的瞬時變化率，有兩種方案可供選擇：①直接求導(dǎo)，得到f′（x），再把橫坐標(biāo)x₀代入導(dǎo)函數(shù)f′（x）的表達式；②先把f（x）=（1+x）ⁿ按二項式展開，逐個求導(dǎo)，再把橫坐標(biāo)x₀代入導(dǎo)函數(shù)f′（x）的表達式．綜合①②，可得到某些恒等式．利用上述思想方法，可得恒等式：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ=

n•2^n-1

 n∈N^*．

Answer 1

分析：先設(shè)t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+（r+1）C_n^r+…+（n）C_nⁿ再由C_n^m=C_n^n-m這個性質(zhì)，將t轉(zhuǎn)化為t=（n+1）C_n⁰+nC_n¹+（n-1）C_n²+…+（r+1）C_n^r+…+C_nⁿ②，兩式相加求解．

解答：解：可導(dǎo)函數(shù)f（x）=（1+x）ⁿ（n∈N^*）在某點x=1處的瞬時變化率，有兩種方案可供選擇：
①直接求導(dǎo)，得到f′（x），再把橫坐標(biāo)1代入導(dǎo)函數(shù)f′（x）的表達式；即：
f′（1）=n（1+1）^n-1
②先把f（x）=（1+x）ⁿ按二項式展開，逐個求導(dǎo)，再把橫坐標(biāo)1代入導(dǎo)函數(shù)f′（x）的表達式．
即：f′（1）=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ
綜合①②，可得到恒等式C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ=n•2^n-1
故答案為：n•2^n-1

點評：本題主要考查二項式系數(shù)及利用組合數(shù)的關(guān)系應(yīng)用倒序相加法求代數(shù)式的值．