Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，ÐABC=ÐBCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，側(cè)面PBC^底面ABCD．

（1）PA與BD是否相互垂直，請證明你的結(jié)論；

（2）求二面角P-BD-C的大��；

（3）求證：平面PAD^平面PAB．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：（1）PA與BD相互垂直．證明如下：取BC的中點O，連結(jié)AO，交BD于點E；連結(jié)PO，∵ PB=PC，∵ PO^BC．又∵ 平面PBC^平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴ PO^平面ABCD．在梯形ABCD中，可得RtDABO≌RtDBCD，∴ÐBEO=ÐOAB+ÐDBA=ÐBDC+ÐDBA=90°，即AO^BD，∴ PA^BD． （2）連結(jié)PE，由PO^平面ABCD，AO^BD，可得PE^BD，∴ ÐPEO為二面角P-BD-C的平面角．設(shè)AB=BC=PB=PC=2CD=2a，則在RtDPEO中，PO=，OE=，tanÐPEO=．∴ 二面角P-BD-C為arctan． （3）取PB的中點N，連結(jié)CN，由題意知：平面PBC^平面PAB，則同“（1）”可得CN^平面PAB． 取PA的中點M，連結(jié)DM、MN，則由MN∥AB∥CD，MN=AB=CD，得四邊形MNCD為平行四邊形． ∴ CN∥DM，∴ DM^平面PAB．∴ 平面PAD^平面PAB． 解法二： 取BC的中點O，由側(cè)面PBC^底面ABCD，DPBC是等邊三角形，得PO^底面ABCD．以BC中點O為原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．設(shè)CD=1，則在直角梯形中，AB=BC=2，在等邊三角形PBC中，PO=． ∴ A(1，-2，0)，B(1，0，0)、D(-1，-1，0)、P(0，0，)． ． （1）PA與BD相互垂直．證明如下： ∵ =(-2)´1+(-1)´(-2)+0´=0． ∴ ，PA^BD （2）連結(jié)AO，設(shè)AO與BD相交于點E，連結(jié)PE． 由=1´(-2)+(-2)´(-1)+0´0=0，得，即AO^BD． 又∵ AO為PA在平面ABCD內(nèi)的射影， ∴ PE^BD，ÐPEO為二面角P-BD-C的平面角． 在RtDBEO中，OE=OB×sinÐOBE=． 在RtDPEO中，tanÐPEO=． ∴ 二面角P-BD-C為arctan． （3）取PA的中點M，連結(jié)DM，則M的坐標為． 又， ∴ ， ∴ ，即DM^PA，DM^PB．∴ DM^平面PAB． ∴ 平面PAD^平面PAB．