Question

12．高速公路為人民出行帶來(lái)極大便利，但由于高速上車(chē)速快，一旦出事故往往導(dǎo)致生命或財(cái)產(chǎn)的重大損失，我國(guó)高速公路最高限速120km/h，最低限速60km/h．
（Ⅰ）當(dāng)駕駛員以120 千米/小時(shí)速度駕車(chē)行駛，駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有事故，以原車(chē)速行駛大約需要0.9秒后才能做出緊急剎車(chē)，做出緊急剎車(chē)后，車(chē)速依v（t）=$\frac{100}{3（t+1）}$-$\frac{5}{3}$t（t：秒，v（t）：米/秒）規(guī)律變化直到完全停止，求駕駛員從發(fā)現(xiàn)前方事故到車(chē)輛完全停止時(shí)，車(chē)輛行駛的距離；（取ln5=1.6）
（Ⅱ）國(guó)慶期間，高速免小車(chē)通行費(fèi)，某人從襄陽(yáng)到曾都自駕游，只需承擔(dān)油費(fèi)．已知每小時(shí)油費(fèi)v（元）與車(chē)速有關(guān)，w=$\frac{{v}^{2}}{250}$+40（v：km/h），高速路段必須按國(guó)家規(guī)定限速內(nèi)行駛，假定高速上為勻速行駛，高速上共行駛了S千米，當(dāng)高速上行駛的這S千米油費(fèi)最少時(shí)，求速度v應(yīng)為多少km/h？

Answer 1

分析 （I）令$v（t）=\frac{100}{{3（{t+1}）}}-\frac{5}{3}t=0$，解得t=4秒或t=-5秒（舍），利用積分求出從發(fā)現(xiàn)前方事故到車(chē)輛完全停止行駛距離；
（II）設(shè)高速上油費(fèi)總額為y，速度v滿足60≤v≤120，則$y=\frac{S}{v}×w$=$（{\frac{v}{250}+\frac{40}{v}}）S$$≥2\sqrt{\frac{v}{250}×\frac{40}{v}}S$=$\frac{4S}{5}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）令$v（t）=\frac{100}{{3（{t+1}）}}-\frac{5}{3}t=0$，解得t=4秒或t=-5秒（舍）…（2分）
從發(fā)現(xiàn)前方事故到車(chē)輛完全停止行駛距離為s=$0.9×\frac{{120×{{10}^3}}}{3600}$+$\int_0^4{（{\frac{100}{{3（{t+1}）}}-\frac{5}{3}t}）}dt$…（4分）
=30+$[{\frac{100}{3}ln（{t+1}）-\frac{5}{6}{t^2}}]\left|{_0^4}\right.$=30+$\frac{100}{3}ln5-\frac{5}{6}×16$=70（米）…（6分）
（II）設(shè)高速上油費(fèi)總額為y，速度v滿足60≤v≤120，則         …（7分）
$y=\frac{S}{v}×w$=$（{\frac{v}{250}+\frac{40}{v}}）S$$≥2\sqrt{\frac{v}{250}×\frac{40}{v}}S$=$\frac{4S}{5}$…（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{v}{250}=\frac{40}{v}$，v=100時(shí)取等號(hào)                    …（10分）
由v=100∈[60，120]，即v=100km/h時(shí)，高速上油費(fèi)最少 …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查積分知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式，屬于中檔題．