Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+

2

x

+alnx，a∈R，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）；
（Ⅰ）當(dāng)a=-4時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a≤4時(shí)，?x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，求證：|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,絕對(duì)值不等式的解法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，f′（x）=

2(x3-2x-1)

x2

，（x＞0），令f′（x）≥0，令f′（x）＜0，從而函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[

1+ 5

2

，+∞）單調(diào)減區(qū)間為（0，

1+ 5

2

），
（2）f′（x）=2x-

2

x2

+

a

x

，得|2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x2x1

|＞1，從而有2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x2x1

＞1恒成立，只需證明：x₁ x₂+

4

x1x2

≥a即可，對(duì)此：設(shè)t=

x1x2

，t＞0，u（t）=t²+

4

t

，而u（t）=t²+

2

t

+

2

t

≥3

3	4

=

3	108

＞4≥a，故命題得證．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，f′（x）=

2(x3-2x-1)

x2

，（x＞0），
令f′（x）≥0，即：x³-2x-1≥0，（x+1）（x²-x-1）≥0，解得：x≥

1+ 5

2

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

1+ 5

2

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[

1+ 5

2

，+∞）單調(diào)減區(qū)間為（0，

1+ 5

2

），
（2）f′（x）=2x-

2

x2

+

a

x

，
∴|f′（x₁ ）-f′（x₂ ）|=|x₁-x₂||2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x2x1

|，
∴|2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x2x1

|＞1
下面證明?x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，
有2+

2(x1+x2)

x12x22

-

a

x2x1

＞1恒成立，
即證：a＜x₁x₂+

2(x1+x2)

x1x2

成立，
∵x₁x₂+

2(x1+x2)

x1x2

＞x₁ x₂+

4

x1x2

，
∴只需證明：x₁ x₂+

4

x1x2

≥a即可，
對(duì)此：設(shè)t=

x1x2

，t＞0，u（t）=t²+

4

t

，
而u（t）=t²+

2

t

+

2

t

≥3

3	4

=

3	108

＞4≥a，
∴即證：a＜x₁x₂+

2(x1+x2)

x1x2

成立，
∴a＜x₁x₂+

2(x1+x2)

x1x2

．
故命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．