Question

2．對任意實數(shù)x、y、z，證明：|x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|z+x|+|x+y+z|≥0．

Answer 1

分析 通過不妨設(shè)x≥y≥z，分x≥y≥z≥0、x≥y≥0≥z、x≥0≥y≥z、0≥x≥y≥z四種情況討論即得結(jié)論．

解答 證明：依題意，不妨設(shè)x≥y≥z，
（1）當(dāng)x≥y≥z≥0時，原不等式顯然成立；
（2）當(dāng)x≥y≥0≥z時，
左邊=x+y-z-x-y-|y+z|-|z+x|+|x+y+z|
=|x+y+z|-z-|y+z|-|z+x|，
①當(dāng)x+y+z≤0時，y+z≤0，z+x≤0，
左邊=-x-y-z-z+y+z+z+x=0，原不等式成立；
②當(dāng)x+y+z＞0時，
（a）當(dāng)y+z≤0，x+z≥0時，
左邊=x+y+z-z+y+z-x-z=2y≥0，原不等式成立；
（b）當(dāng)y+z≤0，x+z≤0時，
左邊=x+y+z-z+y+z+z+x=2（x+y+z）＞0，原不等式成立；
（3）當(dāng)x≥0≥y≥z時，-z≥-y≥0≥-x，
左邊=|-x|+|-y|+|-z|-|-x-y|-|-y-z|-|-z-x|+|-x-y-z|，
此時將-x、-y、-z看作是一個數(shù)，與（2）類似；
（4）當(dāng)0≥x≥y≥z時，-z≥-y≥-z≥0，
此時與（1）情況類似；
綜上所述，原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．