Question

13．如圖，已知圓O：x²+y²=1和定點A（2，1），由圓O外一點P向圓O引切線PQ，切點為Q，且有|PQ|=|PA|．
（1）求P點的軌跡方程；
（2）求|PQ|的最小值；
（3）以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）連接OQ、OP，則△OQP為直角三角形，利用|PQ|=|PA|，求P點的軌跡方程；
（2）表示出|PQ|，利用配方法求|PQ|的最小值；
（3以P為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，即可求出半徑最小的圓的方程．

解答 解�。�1）連接OQ、OP，則△OQP為直角三角形，
又|PQ|=|PA|，
所以|OP|²=|OQ|²+|PQ|²=1+|PA|²，
所以a²+b²=1+（a-2）²+（b-1）²，故2x+y-3=0．
（2）由|PQ|²=|OP|²-1=a²+b²-1=a²+9-12a+4a²-1=5a²-12a+8=5（a-1.2）²+0.8，
得|PQ|_min=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（3）以P為圓心的圓與圓O有公共點，半徑最小時為與圓O相切的情形，而這些半徑的最小值為圓O到直線l的距離減去圓O的半徑，圓心P為過原點且與l垂直的直線l′與l的交點P₀，所以r=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-1，
又l′：x-2y=0，聯(lián)立l：2x+y-3=0得P₀（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）．
所以所求圓的方程為（x-$\frac{6}{5}$）²+（y-$\frac{3}{5}$）²=（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$-1）²．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．