Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2x+1，令F（x）=

f(x) ， x＞0 -f(-x) ， x＜0

（Ⅰ）當(dāng)x∈[2，5]時，g（x）=f（x）-k•x是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）寫出F（x）的表達(dá)式，并求G（x）=F（x）-4x的零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由g（x）=f（x）-k•x=x²+（2-k）x+1的對稱軸方程為x=-

2-k

2

，若g（x）在x∈[2，5]上是單調(diào)函數(shù)，則-

2-k

2

≤2或-

2-k

2

≥5，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）G（x）=F（x）-4x的零點(diǎn)即為F（x）=4x的根，根據(jù)F（x）=

f(x) ， x＞0 -f(-x) ， x＜0

，分x＞0時和x＜0時兩種情況，求解方程，最后綜合分類結(jié)果，可得結(jié)論．

解答： 解：（I）∵f（x）=x²+2x+1，
∴g（x）=f（x）-k•x=x²+（2-k）x+1，
由于g（x）在x∈[2，5]上是單調(diào)函數(shù)，
-

2-k

2

≤2或-

2-k

2

≥5…（4分）
解得：k≤6或k≥12．…（6分）
（II）∵f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1，x＞0 -x2+2x-1，x＜0

，…（8分）
又∵G（x）=F（x）-4x的零點(diǎn)，即為F（x）=4x的根，…（9分）
當(dāng)x＞0時，x²+2x+1=4x，解得x=1，
當(dāng)x＜0時，-x²+2x-1=4x，解得x=-1，…（11分）
∴G（x）=F（x）-4x的零點(diǎn)為±1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性，函數(shù)的零點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．