Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8，過D（1，0）且與圓C相切的動圓圓心為P，
（1）求點P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)過點C的直線l₁交曲線E于Q，S兩點，過點D的直線l₂交曲線E于R，T兩點，且l₁⊥l₂，垂足為W．（Q，S，R，T為不同的四個點）
①設(shè)W（x_°，y_°），證明：；
②求四邊形QRST的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動圓半徑為r，則，由橢圓定義能求出點P的軌跡E的方程．
（2）①由已知條件可知，垂足W在以CD為直徑的圓周上，由Q，S，R，T為不同的四個點，能夠證明．
②若l₁或l₂的斜率不存在，四邊形QRST的面積為2．若兩條直線的斜率存在，設(shè)l₁的斜率為k₁，則l₁的方程為y=k₁（x+1），得，同理得，由此能求出四邊形QRST的面積取得最小值．
解答：（1）解：設(shè)動圓半徑為r，
則，
由橢圓定義可知，點P的軌跡E是橢圓，
其方程為．（2分）
（2）①證明：由已知條件可知，垂足W在以CD為直徑的圓周上，
則有，
又因Q，S，R，T為不同的四個點，
．（4分）
②解：若l₁或l₂的斜率不存在，四邊形QRST的面積為2．（6分）
若兩條直線的斜率存在，設(shè)l₁的斜率為k₁，
則l₁的方程為y=k₁（x+1），
聯(lián)立，
得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
則，（8分）
同理得，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)2k²+1=k²+1，即k=±1時等號成立．（11分）
綜上所述，當(dāng)k=±1時，四邊形QRST的面積取得最小值為．（12分）
點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查不等式的證明，考查四邊形面積的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．