Question

設(shè)a，b為互不相等的正整數(shù)，方程ax²+8x+b=0的兩個(gè)實(shí)根為x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|＜|x₂|＜1，則a+b的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由|x₁|＜|x₂|＜1，知，方程的兩根在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，
設(shè)f（x）=ax²+8x+b=0，此函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，如圖：

由圖可得，f（-1）＞0，f（1）＞0，且對(duì)稱軸在區(qū)間（-1，1）內(nèi)．由此列條件求a+b的最小值．

解答：解：設(shè)f（x）=ax²+8x+b=0，
此函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)
∴

f(-1)＞0 f(1)＞0 -1＜- 8 2a ＜1 4ab-64 4a ＜0

∴

a+b＞8 a＞4 ab＜16

∵a，b為互不相等的正整數(shù)，
∴a，b可能的取值有（7，2）（8，1）（9，1）（10，1）…（14，1）共8個(gè)
∴a+b的最小值是9．
故填9．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于一元二次方程根的分布問(wèn)題，通常用數(shù)形結(jié)合的方法解決．二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，一般考慮圖象與x軸
的交點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)稱軸位置問(wèn)題，頂點(diǎn)位置問(wèn)題等．