Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點
（Ⅰ）證明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF與平面BAP所成二面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出各頂點的坐標(biāo)，進而求出PC，BE，BF的方向向量，根據(jù)向量的數(shù)量積為0，則向量垂直，可證得PC⊥BF，PC⊥EF，再由線面垂直的判定定理得到答案．
（II）由已知及（I）中結(jié)論，可得向量=（0，2 ，0）是平面BAP的一個法向量，向量=（2，2 ，-2）是平面BEF的一個法向量，代入向量夾角公式，可得平面BEF與平面BAP所成二面角的大�。�
解答：解：∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2 ，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點
以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
P（0，0，2），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2 ，0），D（0，2 ，0），E（0，，0），F(xiàn)（1，，1）
證明：（I）由題意得=（2，2 ，-2），=（-2，，0），=（-1，，1），
∵•=-4+4+0=0，•=-2+4-2=0
∴⊥，⊥
∴PC⊥BF，PC⊥EF，又∵BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF
解：（II）由已知可得向量=（0，2 ，0）是平面BAP的一個法向量
由（I）得向量=（2，2 ，-2）是平面BEF的一個法向量
設(shè)平面BEF與平面BAP所成二面角的大小為θ
則cosθ==
則θ=45°
即平面BEF與平面BAP所成二面角為45°
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空間直角坐標(biāo)系，將線線垂直問題和二面角問題轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．