已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點;橢圓E的中心在原點,焦點在x軸上,點F是它的一個頂點,且其離心率e=
(1)求橢圓E的方程;
(2)經過A、B兩點分別作拋物線C的切線l1、l2,切線l1與l2相交于點M.證明:AB⊥MF;
(3)橢圓E上是否存在一點M′,經過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B(A′、B′為切點),使得直線A′B′過點F?若存在,求出拋物線C與切線M′A′、M′B所圍成圖形的面積;若不存在,試說明理由.
【答案】分析:(1)由點拋物線焦點F是橢圓的一個頂點可得b=1,由橢圓離心率e==,橢圓方程可求.
(2)要證明AB⊥MF,只需證=0即可.設直線l的方程為y=kx+,1與雙曲線方程聯(lián)立,消去y,得到關于A,B點橫坐標的一元二次方程,求兩根的和與積,再用導數(shù)求過A,B點的切線方程,求出切點坐標,計算即可.
(3)先假設橢圓E上存在點M′,經過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B(A′、B′為切點),直線A′B′過點F.
再根據(jù)假設與已知條件去求M′坐標,如果存在,用所求結果求拋物線C與切線M′A′、M′B所圍成圖形的面積.
解答:解:(1)設橢圓E的方程為,半焦距為c.
由已知條件,F(xiàn)(0,1),∴b=1,=,a2=b2+c2,
解得a=2,b=1.所以橢E的方程為
(2)顯然直線l的斜率存在,否則直線l與拋物線C只有一個交點,不合題意,
故可設直線l的方程為y=kx+1,A(x1,y1)B(x2,y2)(x1≠x2
與拋物線方程聯(lián)立,消去y,并整理得,x2-4kx-4=0
∴x1x2=-4.
∵拋物線的方程為y=x2,求導得y=x,
∴過拋物線上A,B兩點的切線方程分別是
y-y1=x1(x-x1),y-y2=x2(x-x2)
即y=x1x-,y=x2x-x22
解得兩條切線的交點M的坐標為(,-1)
=0
∴AB⊥MF.
(3)假設存在點M′滿足題意,由(2)知點M′必在直線y=-1上,又直線y=-1與橢圓有唯一交點,故M′的坐標為(0.-1),
設過點M′且與拋物線C相切的切線方程為y-y=x(x-x):,其中點(x,y)為切點.
令x=0,y=-1得,-1-x2=x(0-x),解得x=2或x=-2,
故不妨取A′(-2,1)B′(2,1),即直線A′B′過點F.
綜上所述,橢圓E上存在一點M′(0,-1),經過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B′
(A′、B′為切點),能使直線A′B′過點F.
此時,兩切線的方程分別為y=-x-1和y=x-1.
拋物線C與切線M′A′、M′B′所圍成圖形的面積為
==
點評:本題考查了拋物線,橢圓與直線導數(shù)等的綜合應用,屬于較難題型,做題適應認真分析,找到他們的聯(lián)系點.
練習冊系列答案
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已知拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點F到準線的距離為
12

(1)試求拋物線C的方程;
(2)設拋物線C上一點P的橫坐標為t(t>0),過P的直線交C于另一點Q,交x軸于M,過點Q作PQ的垂線交C于另一點N,若MN是C的切線,求t的最小值.

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已知拋物線C:x2=
12
y
和定點P(1,2),A、B為拋物線C上的兩個動點,且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù).
(I)求證:直線AB的斜率是定值;
(II)若拋物線C在A、B兩點處的切線相交于點M,求M的軌跡方程;
(III)若A′與A關于y軸成軸對稱,求直線A′B與y軸交點P的縱坐標的取值范圍.

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已知拋物線C:x2=2py,過點A(0,4)的直線l交拋物線C于M,N兩點,且OM⊥ON.
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(2)過點N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點Q,若△MNQ是等腰三角形,求直線MN的方程.K.

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已知拋物線C:x2=ay(a>0),斜率為k的直線l經過拋物線的焦點F,交拋物線于A,B兩點,且拋物線上一點M(2
2
 , m) (m>1)
到點F的距離是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF
=3
FB
,求k的值.
(Ⅲ)過A,B兩點分別作拋物線的切線,這兩條切線的交點為點Q,求證:
AB
 • 
FQ
=0

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=2my(m>0)和直線l:y=x-m沒有公共點(其中m為常數(shù)).動點P是直線l上的任意一點,過P點引拋物線C的兩條切線,切點分別為M、N,且直線MN恒過點Q(1,1).
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知O點為原點,連接PQ交拋物線C于A、B兩點,求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值.

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