【題目】某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品,每件產(chǎn)品合格的概率均為,現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù),要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗,已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產(chǎn)品,且每件產(chǎn)品檢驗合格與否相互獨立.若每件產(chǎn)品均檢驗一次,所需檢驗費用較多,該工廠提出以下檢驗方案:將產(chǎn)品每個()一組進(jìn)行分組檢驗,如果某一組產(chǎn)品檢驗合格,則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格,若檢驗不合格,則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品,再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨進(jìn)行檢驗,如此,每一組產(chǎn)品只需檢驗一次或次.設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品,記每件產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)為

1的分布列及其期望;

2)(i)試說明,當(dāng)越大時,該方案越合理,即所需平均檢驗次數(shù)越少;

ii)當(dāng)時,求使該方案最合理時的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù).

【答案】1)分布列詳見解析,期望;(2)(i)詳見解析;(ii時平均檢驗次數(shù)最少,約次.

【解析】

1)根據(jù)每個()一組進(jìn)行分組檢驗,如果某一組產(chǎn)品檢驗合格,則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格,若檢驗不合格,則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品,再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨進(jìn)行檢驗,如此,每一組產(chǎn)品只需檢驗一次或次,每件產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)的可能取值為,,再利用獨立事件和互斥事件求得概率列出分布列,再求期望

2)(i)由(1)知,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到上單調(diào)遞減,從而得到結(jié)論. ii)由(1)記,則由且取最小值時,該方案最合理求解.

1)由題意,的可能取值為,

,,

的分布列為

2)(i)由(1),記

因為.所以上單調(diào)遞減,

越大,越小,即所需平均檢驗次數(shù)越少,該方案越合理.

ii)記,當(dāng)且取最小值時,該方案最合理,

因為,,,,

所以時平均檢驗次數(shù)最少,約次.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】劉徽(約公元225—295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一.他在割圓術(shù)中提出的割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正邊形等分成個等腰三角形(如圖所示),當(dāng)變得很大時,這個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積.運用割圓術(shù)的思想,估計的值為(

A.B.C.D.

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1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線的普通方程;

2)若,求的面積.

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【題目】如圖,在郊野公園的景觀河的兩岸,是夾角為120°的兩條岸邊步道(長度均超過千米),為方便市民觀光游覽,現(xiàn)準(zhǔn)備在河道拐角處的另一側(cè)建造一個觀景臺,在兩條步道上分別設(shè)立游客上下點、,從、到觀景臺建造兩條游船觀光線路,測得千米.

1)求游客上下點、間的距離;

2)若,設(shè),求兩條觀光線路之和關(guān)于的表達(dá)式,并求其最大值.

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【題目】為了提高生產(chǎn)線的運行效率,工廠對生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造.為了對比技術(shù)改造后的效果,采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度(單位:天)數(shù)據(jù),并繪制了如莖葉圖:

1)(i)設(shè)所采集的40個連續(xù)正常運行時間的中位數(shù)m,并將連續(xù)正常運行時間超過m和不超過m的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過

不超過

改造前

改造后

ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異?

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

2)工廠的生產(chǎn)線的運行需要進(jìn)行維護(hù),工廠對生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護(hù)費用包括正常維護(hù)費、保障維護(hù)費兩種.對生產(chǎn)線設(shè)定維護(hù)周期為T天(即從開工運行到第kT進(jìn)行維護(hù).生產(chǎn)線在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護(hù)周期,每個維護(hù)周期相互獨立.在一個維護(hù)周期內(nèi),若生產(chǎn)線能連續(xù)運行,則不會產(chǎn)生保障維護(hù)費;若生產(chǎn)線不能連續(xù)運行,則產(chǎn)生保障維護(hù)費.經(jīng)測算,正常維護(hù)費為0.5萬元/次;保障維護(hù)費第一次為0.2萬元/周期,此后每增加一次則保障維護(hù)費增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個生產(chǎn)周期(以120天計)內(nèi)的維護(hù)方案:,.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率,求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費的分布列.

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A.B.C.D.

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