Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+x2 ．
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）=f（x）﹣3x的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，得h（x）=f（x）﹣3x=lnx+x2﹣3x， （x＞0），

令 =0，得x= 或x=1，

∴當(dāng)x∈（0， ）∪（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（ ）時(shí)，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0， ），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（ ）上為減函數(shù)．

∴h（x）極小值=h（1）=﹣2， ；

（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）= ，

由題意，知g′（x）≥0（x＞0）恒成立，

即a≤ ．

∵x＞0時(shí)，2x+ ，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)等號成立．

故 ，

∴a ．

【解析】（Ⅰ）由已知得到h（x），求其導(dǎo)函數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對定義域分段，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求得極值；（Ⅱ）由函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，可得g′（x）≥0（x＞0）恒成立，分離參數(shù)a，利用基本不等式求得最值得答案．