Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x，g（x）=ax²（a≠0）
（1）若a=1，求函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)H（x）=f（x）-g（x）在其定義域上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a的值并求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）a=1時(shí)寫出H（x）的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)H′（x），然后在定義域內(nèi)解不等式H′（x）＞0，H′（x）＜0即可；
（2）H（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，則函數(shù)H′（x）在（0，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，據(jù)此得一不等式組，解出即可；
（3）設(shè)P（x₀，y₀），則lnx₀+x₀=ax02，f′（x₀）=g′（x₀），聯(lián)立消掉a可得關(guān)于x₀的方程，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求得唯一x₀值，進(jìn)而可求a值；

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，H（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-x²，定義域?yàn)椋?，+∞），
H′（x）=

1

x

+1-2x=-

(2x+1)(x-1)

x

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，H′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，H′（x）＜0，
所以函數(shù)H（x）的增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）H（x）=lnx+x-ax²，H′（x）=

1

x

+1-2ax=

1+x-2ax2

x

，
因?yàn)镠（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，則函數(shù)h（x）=1+x-2ax²在（0，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，且在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，
又h（0）=1＞0，則有

a＜0 1 4a ＞0 △=1-4×(-2a)×1＞0

或

a＞0 h(0)＞0

，解得a＞0．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）．
（3）設(shè)P（x₀，y₀），則lnx₀+x₀=ax02①，f′（x₀）=g′（x₀），即

1

x0

+1=2ax0，化簡(jiǎn)得x₀+1=2ax02②
聯(lián)立①②消a得，lnx₀+

1

2

x0-

1

2

=0，
令φ（x）=lnx+

1

2

x-

1

2

，易知φ（x）=lnx+

1

2

x-

1

2

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（1）=0，
所以lnx+

1

2

x-

1

2

=0有唯一解1，即x₀=1，則y₀=f（1）=1，g（1）=a=1，
故P（1，1），a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬難題．