Question

【題目】如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）在棱上取一點(diǎn)，使得，連接，，可證明是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量，結(jié)合平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

（1）在棱上取一點(diǎn)，使得，連接，，

因?yàn)?/span>，，所以，

所以.又因?yàn)?/span>，，所以，，

所以是平行四邊形，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（2）依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，

所以，.

設(shè)平面的法向量為，則，即，取，

則.

又平面，所以平面的一個(gè)法向量為，

所以，

又二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.