Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，AD=

3

，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（Ⅰ）若PA=1，求證：AF⊥PC；
（Ⅱ）若二面角P-BC-A的大小為60°，則CE為何值時，三棱錐F-ACE的體積為

1

6

？

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AF⊥PC，只需證明AF⊥平面PBC；
（Ⅱ）確定∠PAB為二面角P-BC-A的一個平面角，利用三棱錐F-ACE的體積為

1

6

，求出CE．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=AB=1，F(xiàn)為PB中點，
∴AF⊥PB（1分）
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC（2分）
又∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC（3分）
∴BC⊥平面PAB，而AF?平面PAB（4分）
∴AF⊥BC，∴AF⊥平面PBC（5分）
而PC?平面PBC，∴AF⊥PC（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PB⊥BC且AB⊥BC（7分）
∴∠PAB為二面角P-BC-A的一個平面角，
則∠PAB=60°      （8分）
∴PA=AB×tan600=

3

（9分）
∴VF-ACE=

1

3

×

1

2

×EC×1×

1

2

×

3

=

1

6

，解得EC=

2 3

3

（11分）
即CE=

2 3

3

時，三棱錐F-ACE的體積為

1

6

（12分）

點評：本題考查的知識點是空間線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)化，組合幾何體的體積，熟練掌握空間線線垂直與線面垂直的之間的相互轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．